Задачи на взвешивание - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Задачи на взвешивание

Теория > Олимпиада
задачи на взвешиваниеЗадачи на взвешивание — тип олимпиадных задач по математике, в которых требуется у локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Чаще всего в качестве взвешиваемых объектов используются монеты. Реже имеется также набор гирек известной массы.
Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений.



При решении этих задач часто используется следующее соображение: весы могут пребывать в одном из тёх состояний
• перевесила левая чашка
• перевесила правая чашка
• чашки находятся в равновесии

Рассмотрим, как эти рассуждения применяются при решении задач

Задача 1Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и правильная гиря  массой в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?
Решение.  Поставим на одну чашку весов гирю весом 1 кг и уравновесим весы крупой из мешка. Чаши весов находятся в равновесии - с обоих сторон по 1 кг.  Теперь снимем с весов эту гирю и вместо нее насыпем крупу. Когда этой крупы станет ровно 1 кг, весы  снова окажутся в равновесии.

Задача 2. У Антошки есть 27 золотых монет. Но известно, что Филя заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Антошке  определить фальшивую монету?
Решение.  Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет (27 : 3 = 9). Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка ( достаточно, чтобы весы показали равенство, чтобы сделать вывод, что фальшивка - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку  с фальшивкой  на три части по три монеты (9 : 3 = 3), положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

Задача 3. Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему облику  монеты. Одна из монет фальшивка, кроме того масса монеты по отношению к другим монетам неизвестна. Но все настоящие монеты одного веса. Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?
Решение. Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии, значит, та монета, которая осталась, — настоящая. Кладём её на весы с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивка. Если же весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась, и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем настоящие. Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на весы — по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то следовательно обе монеты на них настоящие. Если весы не в равновесии, то обе монеты на столе настоящие. Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую — монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии, значит, фальшивая монета осталась на столе, а если не в равновесии, значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она или тяжелее).

Задача 4В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.
Решение. Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса и получим удвоенный вес трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.
 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню