Система двух линеных уравнений с двумя неизвестними в целых числах - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Система двух линеных уравнений с двумя неизвестними в целых числах

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. 
Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения
Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении (ax + by) = 1,  (a,b) = 1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.
Теорема 2. Если в уравнении (ax + by) = с , (a,b) = d >1  и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.
Теорема 3. Если в уравнении (ax + by) = с , (a,b) = d >1 , и  d⋮c, то оно равносильно уравнению (a1x + b1y) = 1 , в котором (a1,b1) = 1.
Теорема 4. Если в уравнении (ax + by) = 1, (a,b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:
x = x0c + bt
y = y0c - at
где х0 , у0 – целое решение уравнения  (ax + by) = 1,  t- любое целое число.

Cформулируем на основании этих теорем алгоритм решения уравнения

Алгоритм решения уравнения в целых числах
Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида (ax + by) = с .
1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b ,
если (a,b) = d >1  и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет;
если (a,b) = d >1  и  c⋮d , то переходим к этапу 2.
2. Разделить почленно уравнение (ax + by) = с  на d, получив при этом уравнение (a1x + b1y) = c1 , в котором (a1,b1) = 1.
3. Найти целое решение (х0 , у0 ) уравнения (a1x + b1y) = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел  a и b ;
4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения
x = x0c + bt
y = y0c - at
где х0 , у0 – целое решение уравнения (ax + by) = 1, t- любое целое число.

Способы решения уравнений
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
1. Алгоритм Евклида.
2. Способ перебора вариантов.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод остатков.
5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.
6. Цепные дроби.
7. Метод бесконечного спуска.


Применение способов решения уравнений
Примеры решения уравнений.
Алгоритм Евклида.
Решить в целых числах уравнение:
а) 20х + 12у = 2013;
б) 5х + 7у = 19;
в) 201х – 1999у = 12.
Решение
а) 20х + 12у = 2013 Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений нет.
б) 5х + 7у = 19 Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
x0= 1, y0 = 2.
Тогда
5x0 + 7y0 = 19,
откуда
5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,
5(х – x0) = –7(у – y0).
Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то
х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.
Значит, общее решение:
х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,
где k – произвольное целое число.
Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.
в) 201х – 1999у = 12 Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:
НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.
Запишем этот процесс в обратном порядке:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =
= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =
= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел
x0= 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536
является решением уравнения 201х – 1999у = 12.
Общее решение этого уравнения запишется в виде
х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,
или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),
х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.
Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.
Воспользуемся составленным алгоритмом.
1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:
2816 = 407·6 + 374;
407 = 374·1 + 33;
374 = 33·11 + 11;
33 = 11·3
Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11
2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1
3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.
256 = 37·6 + 34;
37 = 34·1 + 3;
34 = 3·11 + 1
Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.
1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =
– 83·37 – 256·(–12)
Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.
4. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения
х = - 83с + bt = -83*3 - 256 t = -249 - 256t
y = -12c - at = -12*3 - 37t = -36 - 37t
где t - любое целое число.

2 Способ перебора вариантов.
Задача 2. В клетке сидят cобаки и кошки, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?
Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число собак , у – число кошек:
4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.
Выразим у через х : у = 9 – 2х.
Далее воспользуемся методом перебора:
х = 1__2__3__4__

у = 7__5__3__1__
Таким образом, задача имеет четыре решения.
Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

3 Метод разложения на множители.
Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.
Задача 3. Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91.
Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:
(y - x )(y2 + xy + x2 ) = 91
2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число
y2 + yx + x2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2= (|y | - |x |)2 ≥ 0,
следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (y - x )(y2 + xy + x2 ) = 91 равносильно совокупности систем уравнений:

(у - х) = 1
(y2 + xy + x2 ) =91 

(у - х) = 91
(y2 + xy + x2 ) =1 

(у - х) = 7
(y2 + xy + x2 ) =13 

(у - х) = 13
(y2 + xy + x2 ) =7


4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.
Ответ: уравнение имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
x2 - у2 = 69
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде
(х-у)(х +у) = 69
Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Первая система имеет решение
(х - у) = 1
(х+у) = 69
х = 35, у = 34
 , а вторая система имеет решение .
(х - у) = 3
(х+у) = 23
х = 13 , у = 10
Ответ: (13;10) (35;34)  .

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
x2 - у2 = 13
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде
(х-у)(х +у) = 13
Т.к. делителями числа 13 являются числа 1, и 13, то получим только одну систему уравнений:
(х - у) = 1
(х+у) = 13
х = 7, у = 6

Ответ: (7;6) 

Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.
Решение
Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

Метод остатков
 Решить в целых числах уравнение:
а) x3 + y3 = 3333333;
б) x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).
Решение
а) Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 , то x3+ y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.

Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у2.
Решение
Очевидно, что
если х = 1, то у2 = 1,
если х = 3, то у2 = 9.
Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:
х1 = 1, у1 = 1;
х2 = 1, у2 = –1;
х3 = 3, у3 = 3;
х4 = 3, у4 = –3.
Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как
5! + 6! + . . . + х! = 10n,
можем записать, что
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.
Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.
Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).


ЕЩЕ УРАВНЕНИЯ)))
Сколько пар натуральных чисел удовлетворяет равенству 2x+5y=60?
Решение задачи
Так как (2x+5y)⋮5, то 2x⋮5, x⋮5. Аналогично можно показать, что y⋮2. Сделаем замену x=5x0,y=2y0. Тогда уравнение примет вид x0+y0 = 6. Очевидно, что это уравнение имеет в натуральных числах ровно 5 решений. Поэтому и исходное уравнение имеет ровно 5 решений.


Найдите количество целых решений уравнения xy + 6 = 2x + 3y, если x и y принадлежат отрезку [0;2014].

Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим полученное выражение на множители:
xy + 6 = 2x+3y⇔xy − 2x−3y+6 = 0⇔ (x−3)(y−2) = 0.
Заметим, что, если x = 3, то y — любое, а если y = 2, то x — любое. (Так при умножении на 0 получается 0) Поэтому количество целых пар решений равно 2015 + 2015−1 = 4029.
Отметим, что решением исходного уравнения являются две прямые y=2 и x=3.

Найти все пары простых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению:
x2−2y2 = 1
В ответе запишите максимальное значение xx.
Решение задачи
Переписав исходное уравнение в виде
x2 = 1+ 2y2,
заключаем, что x — нечетное число. Теперь, приводя исходное уравнение к виду
(x−1)(x+1)=2y2,
заметим, что числа x−1 и x+1 четные, а из
(x−1)(x+1)=2y2
следует, что y четное. Значит, y = 2 (это единственное простое четное число). Следовательно, x = 3.


 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню