Решение линейных уравнений с модулем - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Решение линейных уравнений с модулем

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
Рассмотрим уравнение вида |kx + b| = c, где x — неизвестная величина, k ≠ 0.

Если c<0, то уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения.

Если c = 0, то уравнение принимает вид kx + b = 0. Оно имеет единственный корень x = −b/k.

Если же c>0, то выражение под знаком модуля может принимать значения c и −c. Значит, возможны два случая:
kx + b = c, то есть x = (c−b) / k.
kx + b = −c, то есть  x=( −c−b) / k

Рассмотрим теперь уравнение вида |ax+b| = |cx+d|, где a, b, c, d – некоторые числа.

ПРИМЕР 1.
Решите уравнение: |2x−5| = |3x+6|.
РЕШЕНИЕ
Согласно определению модуля, указанное равенство возможно в следующих случаях:
2x−5 = 3x+6, то есть x=−11;
2x−5 = −(3x+6), то есть x=−0,2.
Ответ. {−11;−0,2}. 

Алгоритм решения уравнений с модулями:
1. Найти в уравнении все выражения, содержащиеся под знаком модуля.
2. Найти, при каких значениях переменной они обращаются в нуль.
3. Разбить найденными значениями числовую прямую на непересекающиеся промежутки.
4. Определить для каждого числового промежутка, чему равно значение каждого модуля: самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или противоположному ему.
5. Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без знаков модуля.
6. Оставить только те решения, которые соответствуют числовому промежутку, и записать их в ответе.

ПРИМЕР 2
Решите уравнение: |x−3| − |2x+4| = 5.
Точки −2 и 3 разбивают ось на три непересекающихся промежутка: (−∞;−2) (−∞;−2), [−2;3) [−2;3), [3;∞)[3;∞). Решим уравнение на каждом из них:
Первый Промежуток x∈(−∞;−2)
Решение уравнения
−(x−3) + (2x+4) = 5
x+7=5
x =−2
Учет промежутка
x∈∅
Второй Промежуток x∈[−2;3)
Решение уравнения
−(x−3) − (2x+4) = 5
−3x−1 = 5
x = −2
Учет промежутка
x = −2
Третий Промежуток x∈[3;∞)
Решение уравнения
(x−3) − (2x+4) = 5
−x−7 = 5
x = −12
Учет промежутка
x∈∅
Ответ: x = −2

ПРИМЕР 3
Решите уравнение |x−1| = 3. 
Решение задачи
Если |x−1| = 3, то x−1 = ±3. То есть либо x = 3+1 = 4, либо x = −3+1 = −2. 

ПРИМЕР 4
Найдите количество целых решений уравнения 5x+|5x| = 0 на отрезке [−2015;2015].
Решение задачи
Заметим, то так как модуль — величина неотрицательная, а из уравнения получаем, что 5x ≤ 0 или x ≤ 0. Поэтому |5x| =−5x и уравнение примет вид 5x−5x = 0. Следовательно, x≤0 — это множество решений уравнения. Тогда количество целых решений на отрезке [−2015;2015] равно 2016. 

ПРИМЕР 5
Решите уравнение |||x|−2|−2|=2. В ответе укажите произведение всех решений.
Решение задачи
Будем последовательно раскрывать каждый из модулей и разбирать каждый случай отдельно.
По условию |||x|−2|−2|=2, поэтому ||x|−2|−2=−2 или ||x|−2|−2=2.
Случай 1:
||x|−2|−2=−2.
Из первого равенства: ||x|−2|=0, тогда |x|−2=0 или |x|=2. Следовательно, x=−2 или x=2.
Случай 2:
||x|−2|−2=2.
Из второго равенства: ||x|−2|=4. Значит, случай разбивается на два: |x|−2=4 или |x|−2=−4.
Случай 2(а):
|x|−2=4.
Из первого равенства: |x|=6. Следовательно, x=−6 или x=6.
Случай 2(б):
|x|−2=−4.
Из второго равенства: |x|=−2. Но модуль есть величина неотрицательная, поэтому в этом случае решений нет.
В итоге мы получили 4 различных решения — −2,2,−6,6. Их произведение равно 144. 
 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню