Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения


Вспомним формулу разности квадратов (a – b)(a + b) = a 2 – b 2
И обратную 2 – b 2 = (a – b) (a + b) ,

Обратная формула позволяет разложить разность квадратов на множители.

Рассмотрим примеры: 25x 6 –  9y 4
используя правила работы со степенями, преобразуем выражение
25x 6 –  9y 4  =      (5x 32 –    (3y 2)2
Разложим разность квадрата на множители
(5x32 – (3y 22 = (5x 3 – 3y2) (5x 3 + 3y 2) ;

в следующем примере разложим разность квадрата на множители, чтобы облегчить счет
975 2 – 25 2 = (975 – 25) (975 + 25) = 950 • 1000 = 950 000 ;

вычислим значение выражения 9993
используя формулу (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3  получаем
9993 = (1000-1)3 = 10003 - 3*10002*1 + 3*1000*12 - 13 = 1000000000 - 3000000 + 3000 - 1 = 997002999

Вычислим значение выражения 99992

Решение задачи
Представим 9999 как 10000−1 и воспользуемся формулой квадрата разности:
(10000−1)2=100000000−2⋅10000+1=99980001.

Известно, что a − b = 2. Чему равно значение выражения 12 − a2 + 2ab − b2?
Преобразуем выражение 12 − a2 + 2ab − b212 − ( a2 - 2ab + b2) = 12 - (a -  b)2 = 12 - 22 = 12 - 4 = 8

Преобразуйте выражение 3a(a + 2) − (a + 3)2 в многочлен
Используя формулу (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 выражение можно представить как  3a(a + 2) − (a + 3)2  =  3a(a + 2) - (a2 + 2a*3 + 32)
используя правила раскрытия скобок и умножения одночлена на многочлен получаем
3a(a + 2) - (a2 + 2a*3 + 32) = 3a2 + 6а - a2 - 6а - 9 = 2a2  -  9

Известно, что ac + bd = 11, ad − bc = 10, где a, b, c, d — некоторые действительные числа. Найдите (a2+b2)(c2+d2)
Сперва
ac + bd = 11 возведем в квадрат (ac + bd)2 = 112
a2c2 + 2acbd + b2d2 = 121
a2c2 + b2d2 = 121- 2acbd
и ad − bc = 10 возведем в квадрат (ad − bc) 2 = 102
a2d2 - 2adbc + b2c2 = 100
a2d2 + b2c2 = 100 + 2adbc
Преобразуем выражение, раскрыв скобки (a2+b2)(c2+d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 Теперь можно подставить значения сверху

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = 100 + 2adbc + 121- 2acbd = 100 + 121 = 221 

Пусть a + b = p, ab=q Представьте выражение a3 + b3 как сумму одночленов с переменными p и q.
a 3 + b3 = (a + b)(a 2 - ab + b2 )  = p (a 2 - ab + b2
Возведем в квадарат выражение  (a + b)2 = p2
 (a2 + 2ab + b2) = p2 
 a2 + b2 = p2  - 2ab
 a2 + b2 = p2 - 2q

 p (a 2 - ab + b2 )  =  p (a 2+ b2 - ab  ) = p(p2 - 2q - q) = p(p2 - 3q ) = p3 - 3pq


Найдите a3+b3, если известно, что a+b=10 и a+b+a2b+ab2=250
Заметим, что
a+b+a2b+ab2=a(1+ab)+b(1+ab)=(a+b)(1+ab),
тогда т.к. по условию a+b+a2b+ab2=250 и a+b=10, то ab=250/10−1=24. 
Используя соотношение a3+b3=(a+b)((a+b)2−3ab),
получаем, что a3+b3=10⋅(102−3⋅24)=10⋅(100−72)=280.
 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню