Прямоугольный треугольник - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
прямоугольный
Δ ABС - прямоугольный треугольник
∠ C = 90°
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами
сторона АС и сторона СВ - катеты прямоугольного Δ ABС
АС = b CB = a =  катеты
Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой
сторона АС - гипотенуза треугольника
AC = c = гипотенуза


Свойства прямоугольного треугольника

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник – част­ный слу­чай обыч­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му все свой­ства обыч­ных тре­уголь­ни­ков для пря­мо­уголь­ных со­хра­ня­ют­ся. Но есть и неко­то­рые част­ные свой­ства, обу­слов­лен­ные на­ли­чи­ем пря­мо­го угла.

Свойство 1.  Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Доказательство: В самом деле, сумма углов  любого треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90° (∠ C = 90°), поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°( ∠ А + ∠ В = 180° -  90° = 90°)

Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).

Доказательство. Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов ∠ А + ∠ В = 90° . Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше 90°. Значит ∠ C = 90°, является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: с > a  и c > b

Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.

Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника.

Неравенство треугольника "В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны"
Из данного неравенства сразу же следует свойство 3. Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше

Свойство 4. Катет, лежащий против угла в 3 , равен половине гипотенузы.

катет половинеДано: Δ ABС - прямоугольный треугольник
∠ CАВ = 30°
Доказать: AB = 2ВС

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую ВС за точку С на отрезок, равный ВС . Получим точку D. Так как углы ∠ АCВ  и ∠ АCD – смежные, то их сумма равна  18. Поскольку∠ АCВ = 90° , то и угол ∠ АCD = 90°   .

Значит, прямоугольные треугольники Δ ABС = Δ AСD (по двум катетам: AC– общий, BC и CD– по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠ CАВ = 30° = ∠ CАD = 30°. Откуда: ∠ DАВ = 60° . Кроме того, ∠ В = ∠ D  (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 60° – равносторонний. Из этого следует, в частности, что AB = 2ВС

Свойство 5.  Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

Свойство 6.  Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Теорема Пифагора: c2 = a2 + b2
где a,b – катеты, c – гипотенуза.

Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)
Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.
медиана прямоугольного 
Напомним, что  медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. СМ - медиана Δ ABС

Дано:
СМ = 1/2 АВ


Доказать: ∠ C = 90°

Доказательство: поскольку СМ = МВ = МА, то Δ AМС и  Δ МBС – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть,∠ САМ = ∠АСМ , ∠МСВ = ∠МВС. Тогда сумма углов треугольника равна ∠ САМ + ∠АСМ + ∠  СМА = 180° Значит,  ∠ САМ + ∠АСМ = 90°. Но: ∠С = ∠АСМ + МСВ = 90°

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Читатели сайта "Спиши у Антошки уже прочитали "Признаки равенства треугольников". Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. 
Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

равны треугольникидва катета равны- два катета;
"Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны"

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АС =A1С1 , ВС = B1С1

Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1
Доказательство: в прямоугольных треугольниках:Δ ABС и Δ A1B1С1  ∠ C = 90° = ∠ C1. Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1.

признак равенства два катет и гипотенуза равны
 - катет и прилежащий острый угол;
"Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны"

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АС =A1С1 , ∠ А = ∠ А1
Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1
Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна 90°. Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов ∠ C = 90° = ∠ C1. Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1.


 - гипотенуза и острый угол.
"Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны"

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АВ =A1В1 , ∠ А = ∠ А1
Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1
Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию:АВ =A1В1 , ∠ А = ∠ А1, а из свойств прямоугольных треугольников следует, что∠ C = 90° = ∠ C1 . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1.


- катет и гипотенуза;
"Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны"

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АС =A1С1 , АВ =A1В1
Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1
Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: ∠ C = 90° = ∠ C1. Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше 90°. Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше 180° . Но это невозможно, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить:Δ ABС = Δ A1B1С1.

 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню