Прямоугольник - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Прямоугольник

Определение 1. Прямоугольник – это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, соединенных между собой отрезками так, что они не пересекаются нигде, кроме этих самых точек.
Определение 2. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб. Поэтому можно еще сформулировать определения прямоугольника.
Определение 3. Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все четыре угла прямые.
прямоугольник Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую - шириной прямоугольника.
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.


Основные свойства прямоугольника

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
свойства прямоугольника 6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD = d
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники. 

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
AO = BO = CO = DO = d / 2
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

Стороны прямоугольника

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон.
Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Часто в задачах требуется найти длину прямоугольника, ниже представлены формулы для этого

Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √(d2 - b2) и соответственно b = √(d2 - a2)

Доказательство: Свойство 7. 2d2 = 2a2 + 2b2 ⇒ (сократим коээфициент 2) d2 =a2 + b2 ⇒ a2d2 - b2 ⇒ a = √(d2 - b2)

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
a = S / b и соответственно b = S/ a

Доказательство: S = a • b ⇒ a = S / b или b = S/ a

3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
a = (P - 2b)/2 и соответственно b = (P - 2a)/2

Доказательство: P = 2(a + b) ⇒ 2b = (P - 2a) ⇒ b = (P - 2a)/2

4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα и соответственно b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
a = d sin β/2 и соответственно b = d cos β/ 2


Диагональ прямоугольника

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √(a2 + b2)

Доказательство: Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
d = (√(S2 + a4)) /  a = (√(S2 + b4)) / b

3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
d = (√(P2 - 4Pa + 8a2)) / 2  = (√(P2 - 4Pb + 8b2)) / 2

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
d = a/sin α
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
d = b/cos α
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β


Периметр прямоугольника

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b или P = 2(a + b)
Онляйн вычислить периметр можно здесь
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
P = (2S + 2a2)/a  = (2S + 2b2)/b
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √(d2 - a2)) = 2(b + √(d2 - b2))
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √(4R2 - a2)) = 2(b + √(4R2 - b2))
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √(Do2 - a2)) = 2(b + √(Do2 - b2))


Площадь прямоугольника

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a • b
Онлайн вычислить площадь прямоугольника можно здесь
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
S = (Pa - 2a2) / 2  = (Pb - 2b2) / 2
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√(d2 - a2) = b√(d2 - b2)
4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
S = d2 • sin β/2
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√(4R2 - a2) = b√(4R2 - b2)
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√(Do2 - a2) = b√(Do2 - b2)


Окружность описанная вокруг прямоугольника

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
R = (√(a2 + b2))/2
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
R = (√(P2 - 4Pa + 8a2)) / 4  = (√(P2 - 4Pb + 8b2)) / 4

3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
R = (√9S2 + a4)) / 2a  = (√(S2 + b4)) / 2b
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
R = d/2
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
R = Dо/2
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
R = a/2sin α
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
R = b/2cos α
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
R = √2S : sin β/2



Угол между стороной и диагональю прямоугольника
Формулы определения угла между стороной и диагональю
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
sin α = a/ d и соответственно cos α = b/d
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
α = β/2


Угол между диагоналями прямоугольника
Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника
1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
sin β = 2S/d2

 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню