Признаки делимости с доказательствами - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Признаки делимости с доказательствами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число k, что a=kb. Делимость обозначается следующим образом: a⋮b, то есть a кратно b. При этом число b называется делителем числа a, число a — кратным числа b.
Запись факта делимости числа a на число b  записывается следующим образом - a⋮b
Этот знак, три точки, обозначает лишь то, что число делится на другое число, и совсем не проводит какое либо действие с этими числами, как например, знак +, который производит сложение двух чисел и выдает результат этого действия.
Всегда, когда при прочтении текста встречается запись a⋮b , следует читать "число а делится на число b".


СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ
1. Любое натуральное число делится на 1 и на само себя.
2. Если натуральное число a делится на натуральное число b, и число b делится на a, то a=b.
3. Если a1⋮b и a2⋮b, то a1+a2⋮b и a1−a2⋮b.
4. Если a⋮b и c∈N, то ac⋮b.

Доказательства свойств делимости 
1. Любое число можно представить в виде a = a⋅1.
2. Если число a делится на b, то a = kb. Если b делится на a, то b = na. Следовательно, b = nkb. Значит, nk = 1, то есть n = k = 1, a = kb = b.
3. Пусть a1,a2⋮b, тогда существуют k1,k2∈N: a1 = k1b, a2 = k2b.
a1+a2 = k1b+k2b = (k1+k2)b = kb, k∈N.
Значит, a1+a2⋮b. Аналогично доказывается, что a1− a2⋮b.
4. Пусть a⋮b, тогда a = kb, аc=kсb=k′b,  k′∈N. Значит, ac⋮b.



При доказательстве теорем на делимость требуется посимвольное представление многозначного числа. Например, число 543. У него количество единиц – 3 шт., количество десятков – 4 шт., и 5 сотен, т.е. 5,4 и 3 – это цифры, то есть символы, и из них уже составляется число 543.                 
Теперь перейдем к переменным. Пусть  5 = n  4 = k 3 = t. Как же записать число 543? Если записать nkt  , то возникает проблемка – в математике зачастую не пишется знак умножения, и в этом случае получится, что nkt = n*k*t = 5*4*3 = 60  , а совсем не 543.                                                                                                                                                                                                  
В случае, если требуется именно символьная запись, над числом ставят черту: ‾n‾k‾t‾  . Она и говорит, что эти буквы надо воспринимать именно как символы.
Пример: Число можно представить несколькими способами: 
1) Если , то 23555 


2) Если , то ‾ 333 ‾

Признаки делимости натуральных чисел
Пусть n = ak ak-1 ak-2 ... a1 a0,
где ai- цифры (k + 1) - значного числа n, i = 0, 1, ... k, ak 
 


 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню