Решения полных квадратных уравнений - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Решения полных квадратных уравнений

Теория > Алгебра 8
 Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0 ,

где коэффициенты a , b и c — любые действительные числа, причем а ≠ 0 .
Коэффициенты a , b и с называют:
а — первый или старший коэффициент ;
b — второй коэффициент или коэффициент при х ;
с — свободный член.    

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты a , b и c не равны нулю. 

Полное квадратное уравнение может быть приведенным.
Приведенное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент a = 1, 
то есть: 1*x2 + bx + c = 0 = x2 + bx + c = 0

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент b  и или свободный член с равны нулю:

1. если коэффициент b = 0 , уравнение имеет вид: ax2 + 0*x + c = 0 = ax2 + c = 0

2. если свободный член c = 0 , уравнение имеет вид: ax2b*x + 0 = 0 = ax2 + b*x  = 0

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.    


Последовательность  решения полных квадратных уравнений  :
1. Уравнения  вида ax2 + bx + c = 0 решают с помощью дискриминанта
находим дискриминант D = b2 – 4ac ;
- анализируем дискриминант:
• если D < 0 , то квадратное уравнение не имеет корней ;
• если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень x = –b/ 2a;
• если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня
x1 = (–b+√D) / 2a
x2 = (–b-√D) / 2a

2. с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения 1*x2 + bx + c = 0, где а = 1
 равна −b , а произведение корней равно c , 
т.е. x1 + x2 = −b
 x1 *  x2 = с
Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.


3. решение методом выделения полного квадрата
Если квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 имеет корни x1  и  x2
​​ , то его можно записать в виде : a⋅(x −  x1)(x − x2)

Посмотрим примеры решения:

1. 2x2 + 5x - 7 = 0 (это уравнения вида ax2 + bx + c = 0) 
D = b2 – 4ac = 52 - 4*2*(-7) = 25 + 56 = 81
x1 = (–b+√D) / 2a = (-5 + 9) / 2*2 = 4 / 4 = 1
x2 = (–b-√D) / 2a = (-5 - 9) / 2*2 = -14 / 4 = -7 / 2 = -3,5
Ответ: 1; -3,5

2. 4x2  - 12x + 9 = 0 (это уравнения вида ax2 + bx + c = 0)
D = b2 – 4ac = -122 - 4*4*9 = 144 - 144 = 0
x1 = (–b+√D) / 2a = 12 / 2*4 = 12 / 8 = 1,5
x2 = (–b-√D) / 2a = 12 / 2*4 = 12 / 8 = 1,5
Ответ: 1,5

3. 4x2 - 5x + 9 = 0 (это уравнения вида ax2 + bx + c = 0)
D = b2 – 4ac = -52 - 4*4*9 = 25 - 144 = - 119
D  < 0 значит решения нет
Ответ: ршения нет (используется знак ∅)

4. x2 - 7x + 12 = 0 (это уравнения вида 1x2 + bx + c = 0 - приведенное квадратное уравнение)
Можно решить как с помощью дискриминанта, так и с помощью теоремы Виета
Сумма корней уравнения равна −b:
x1 + x2 = 7
А произведение равно x1 * x2 = с = 12
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно 12, и проверим, равна ли их сумма 7 :
12  и 1 . Сумма равна 13 
2  и 6. Сумма равна 8 ;
3  и 4. Сумма равна 7.
Таким образом, 3 и 4  – корни нашего уравнения.
Ответ: 3; 4.

5. x2 - 2x - 24 = 0 (это уравнения вида 1x2 + bx + c = 0 - приведенное квадратное уравнение)
Можно решить как с помощью дискриминанта, так и с помощью теоремы Виета
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. 
x1 * x2 = с = -24
Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей. x1 + x2 = - b  = 2

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно - 24, и проверим, равна ли их разность 2 :
24  и 1 . Разность  равна 23
12 и 2. Разность  равна 10 ;
8 и 3. Разность равна 5.
6 и 4. Разность равна - 2 - подходит.
Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться 2, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем: 6 + (−4) = 2, 6⋅(−4) = −24
Таким образом, 6 и -4 – корни нашего уравнения.
Ответ: 6; -4.

6. Решим теперь квадратное уравнение, приведя его к виду a⋅(x − x1)(x − x2)
1x2 + 6x + 8 = 0 ⇔ x2 + 2*x*3 + 9 - 1 = 0 (х + 3)2 - 1 = 0
                                                     (х + 3)2

(х + 3)2 - 1 = 0 ⇔ (х + 3)2 = 1 ⇔ (х + 3) = ± 1 
Ответ: -2; -4

7. Решим теперь квадратное уравнение, приведя его к виду a⋅(x − x1)(x − x2)
3x2 + 12x + 8 = 0 ⇔ 3(x2 + 2*x*2 + 4 - 12 + 8  = 0 ⇔3(х + 2)2 - 4 = 0
                                                     (х + 2)2

3(х + 2)2 - 4 = 0 ⇔ (х + 2)2 = 4 / 3 ⇔ (х + 2)2 = (2 /√3)2 
 
Ответ: 2√3/3 - 2 ; - 2√3/3 - 2
 


 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню