Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге

Теория > Олимпиада
На олимпиадах часто бывают задания, в которых требуется вычислить площадь фигуры, изображенной на листе бумаги в клетку. Как правило, эти задания не вызывают больших проблем, если фигура представляет собой ромб или трапецию, параллелограмм или треугольник. Достаточно хорошо знать формулы вычисления площадей этих фигур.
Трудности появляются, когда фигура представляет собой некоторый произвольный многоугольник.
Изучение специальной литературы и интернет источников, показало, что существует универсальная формула, позволяющая вычислить площадь фигуры, изображенной на клетке. Эта формула называется формулой Пика.
Пусть задана прямоугольная система координат. В этой системе рассмотрим многоугольник, который имеет целочисленные координаты. В учебной литературе точки с целочисленными координатами называются узлами. Причем многоугольник не обязательно должен быть выпуклым. И пусть требуется определить его площадь.

Возможны следующие случаи.
1. Фигура представляет собой треугольник:
Воспользуемся ФОРМУЛОЙ  ПИКА
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов (пересечений линий)  на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника

S = M/2 + N - 1 

Рассмотрим как работает формула на конкретном треугольнике:
формула ПикаВ данном треугольнике мы обозначили красным цветом количество узлов на границе треугольника M = 15 (обозначены красным)
А синим цветом - количество узлов внутри треугольника
N = 34 (обозначены синим)

Масштаб : 1 клетка = 1 см

S = M/2 + N - 1  = 15 / 2 + 34 - 1 = 40, 5 см2



2. Фигура представляет собой треугольник, параллелограмм, трапецию:
здесь также можно воспользоваться формулой Пика:
S = M/2 + N - 1 
Рассмотри ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:
В данном параллелограмме мы обозначили красным цветом количество узлов на границе треугольника M = 24 (обозначены красным)
А синим цветом - количество узлов внутри треугольника
N = 25 (обозначены синим)
Масштаб : 1 клетка = 1 см
S = M/2 + N - 1 = 24 / 2 + 25 - 1 = 36 см2

3. Фигура представляет собой многоугольник:
Если фигура представляет собой многоугольник то возможно использовать следующие методы.
Метод разбиения: 
1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники; 
2) вычислить площади полученных фигур; 
3) найти сумму всех площадей полученных фигур.
Метод - формула Пика
Этот метод работает и на многоугольниках. Посмотрим на примере:
В данном многоугольнике  мы обозначили красным цветом количество узлов на границе треугольника M = 14 (обозначены красным)
А синим цветом - количество узлов внутри треугольника
N = 43 (обозначены синим)
Масштаб : 1 клетка = 1 см
S = M/2 + N - 1 = 14 / 2 + 43 - 1 = 49 см2

Когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.




 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню