Параллелограмм - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
параллелограмм
На рисунке изображен параллелограмм АВCD

AB||CD и BC||AD противоположные стороны

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA


Признаки параллелограмма


Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD), то этот четырехугольник - параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (AB = CD, BC = AD), то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO = OC, BO = OD), то этот четырехугольник – параллелограмм.
4. Если  четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA), то этот четырехугольник – параллелограмм.
5. Если сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°, то этот четырехугольник – параллелограмм.
6. Если в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом. Поэтому паралллелограмм обладает свойствами этих геометрических фигур.
параллелограмм1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD = а, BC = AD = b
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Cумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
5. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠1+ ∠2+ ∠3 + ∠4= 360°
6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12 + d22 = 2a2 + 2b2 
7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
11. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Диагонали параллелограмма


 
Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2
Если параллелограмм имеет равные стороны, то диагонали параллелограмма будут равны.

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √(a2 + b2 - 2ab·cosβ)
d2 = √(a2 + b2 + 2ab·cosβ)

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √(a2 + b2 + 2ab·cosα)
d2 = √(a2 + b2 - 2ab·cosα)

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √(2a2 + 2b2 - d22)

Периметр параллелограмма

 Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √(2d12 + 2d22 - 4a2)
P = 2b + √(2d12 + 2d22 - 4b2)

Площадь параллелограмма


Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
высота параллелограмма
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb


2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
S =  0.5 d22  d22 sinα







 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню