Многочлены основные понятия - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Многочлены основные понятия

От изучения одночленов переходим к знакомству с еще одним видом выражений - многочленам.
Многочленом называется сумма одночленов.
Напомним, что одночленом называется произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.
Одночлены, входящие в состав многочлена, называют его членами.
Членами многочлена 4x 3y – 3ab являются 4x3y и – 3ab .

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом:
5x7y  – 7a 2b6 ; y + 7b 4 ; 7a2 + 13a 3 .

Если из трех – трехчленом:
5x 2y – 7a 2b 2 + 5 ; y + 5b2 – 3x 2 ; 7a 2 + 13a 2 + 5ab2 .

ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Одночлен также является многочленом.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
Число нуль также является многочленом и его называют нулевым многочленом.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.
7a 2bc2 + 8a2с2 − 7a 2bc2  здесь  7a 2bc2   - подобные члены многочлена 

Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.
7a 2bc2 + 8a2с2 − стандартного вида
7a 2bc2 + 8a2с2 −7a 2bc2 - нестандартного вида, так как содержит подобные члены многочлена

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.
5x7y  + 5 свободный член многочлена - 5
а многочлен 5x7y + 7y - не имеет свободного члена

Свойства многочленов

1. Члены многочлена можно менять местами. Иначе говоря, два многочлена считают равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком их членов.
2. Прибавление к многочлену нуля (нулевого многочлена) не изменяет eгo.
3. В многочлене можно приводить подобные члены. Иначе говоря, два многочлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой подобных членов их суммой.

Для того чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести все одночлены к стандартному виду и привести все подобные члены.

Степень многочлена

Степенью многочлена называют максимальную (наибольшую)  из степеней его  слагаемых (членов) в стандартном виде.
 Чтобы найти степень многочлена:
1. Привести многочлен к стандартному виду.
2. Найти степень всех входящих в него одночленов — членов многочлена.
3. Выбрать наибольшую из этих степеней.

Рассмотрим пример:
Найти степень многочлена: 5х3y - 7х8 y2 + 5
Данный многочлен записан в стандартном виде. 
Степень первого члена многочлена — одночлена 5х3y  = 3 + 1 = 4
Степень второго члена многочлена - 7х8 y2 = 8 + 2 = 10
Степень третьего члена многочлена = 0   - это одночлен нулевой степени.
Наибольшая из степеней одночленов = 10. Таким образом, это — многочлен десятой степени.

Рассмотрим следующий пример:
Укажите многочлены, степень которых равна 5.
1. 2a2b2 + b
2. x2 +y3 +z5 
3. 7a 2bc2+ 8a2с2 −7a 2bc2
4.  20
5. (a+b)(b2−b4)
Рассмотрим каждый многочлен в отдельности: 
Степень многочлена 2a2b2 + b равна 4.
Степень многочлена x2 +y3 +z5 равна 5.
Степень многочлена 7a 2bc2+ 8a2с2 −7a 2bc2 =  + 8a2с2 равна 4.
Степень многочлена 20 = 20a 0  равна 0.
Степень многочлена (a + b)(b2 − b4) = ab2 + b3 − ab4− b5 равна 5.
Степень многочлена (x −2x2 + x)(x4 + x2) = 0⋅(x4 + x2) = 0 неопределена.
Таким образом наш ответ - это пример x2 + y3 + z5 и пример (a + b)(b2 − b4)

Коэффициент многочлена


Пусть все члены многочлена являются одночленами стандартного вида. Коэффициенты одночленов в этом случае называют коэффициентами членов многочлена. 
Рассмотрим многочлен 22·x − 0,5·x·y + 3·x + 77. Он состоит из четырех одночленов 22·x, −0,5·x·y, 3·x и 77, их коэффициенты равны 22, −0,5, 3 и 77 соответственно. 

Рассмотрим пример:
Найдите сумму всех коэффициентов в стандартном виде многочлена x⋅(x + 1)⋅(x + 2)2⋅(x − 4)4.
Допустим, мы раскрыли все скобки и привели подобные слагаемые. Тогда если в получившееся выражение подставить x=1, то значение каждого одночлена akxk при x = 1 будет равняться ak⋅1k = ak, то есть самому коэффициенту. Осталось лишь заметить, что раскрытие скобок и приведение подобных членов — это тождественные преобразования выражений, значение получившегося выражения в при некотором значении x не будет отличаться от значения исходного выражения в при том же значении x. Таким образом, сумма всех коэффициентов будет равна значению многочлена при x = 1, то есть
1⋅(1 + 1)⋅(1 + 2)2⋅(1−4)4 = 2⋅32⋅(−3)4 = 2⋅9⋅81 = 1458.

Решите уравнение
 − х2012 − х2011  − .....   − х + х + 2 + х3 + х4 + .... + х2012 = 8
После того как многочлен привели к стандартному виду, произвели необходимое сокращение, имеем: 
 − х2012 − х2011 − ..... − х + х + 2 + х2 + х3 + х4 + .... + х2012 = 8
2  = 8
х2  = 4
 х = ±2


 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню