Разложение составного числа на простые множители - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Разложение составного числа на простые множители


Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Последовательность действий при разложении на простые множители:
1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего     (2, 3, 5 …).
3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

Разложим на простые множители число 48 :
48 не является простым.                                                                                                                    Это можно проверить здесь
48 делится на 2, получаем 48 : 2 = 24 .
24 делится на 2, 24 : 2 = 12.
12 делится на 2, 12 : 2 = 6.
24 делится на 2, 6 : 2 = 3.
3 простое число.
Результат: 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Разложим на простые множители число 378 :
378 не является простым.
378 делится на 2,
так как оканчивается на четное число ( 8 ).
378 : 2 = 189 .
189 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем 189 : 3 = 63 .
63 так же делится на 3, получаем 63 : 3 = 21 .
21 так же делится на 3, получаем 21 : 3 = 7 .
7 простое число.

А теперь посмотрите онлайн вычисления 

Задачи по-сложнее:

1. Найдите все пары простых чисел, отличающихся на 17. В ответе укажите наибольшее из найденных чисел.

Решение задачи
Заметим, что числа, отличающиеся на 17, имеют разную четность. Значит, одно из них обязано быть четным. Но единственное четное простое число — это 2. В таком случае второе число определяется однозначно: 2+17 = 19. Таким образом, ответ — 19.

2. Докажите, что только одно число, состоящее из четного количества одинаковых цифр, является простым. Найдите это число.
Решение задачи
Заметим, что если цифрой нашего числа является цифра a, то число должно делиться на a. 
Действительно, a…a = a102n +a102n - 1+…+10a+a = a(102n+…+1) ⋮ 
Отсюда следует, что a=1, т.к. в противном случае исходное число не будет простым.
Докажем, что только 11 является простым числом, состоящим из единиц. Для этого надо заметить, что (пусть число 2n-значное) число 1…1 = 11(102n - 2+102n-4+…+104+102+100) делится не только на 11, но и на выражение в скобках . Чтобы число было простым, это выражение должно быть равно 1, что возможно только при 2n=2, то есть когда число двухзначное.

3. Найдите все такие p∈N, что числа p, p+2, p+4 — простые. Укажите сумму всех таких чисел p.

Решение задачи
Заметим, что числа p, p+2, p+4 имеют разные остатки от деления на 3 (поскольку остатки у чисел p и p+4 отличаются на единицу, а у p и p+2 — на двойку). Т.к. при делении на 3 может получиться всего 3 остатка, а именно 0, 1 и 2, то одно из чисел p, p+2 и p+4 должно обязательно делиться на 3. А поскольку по условию задачи числа простые (т.е. делятся только на 1 и на само себя), то одно из этих чисел должно быть равно 3. Ясно, что p+4>3, а p+2≠3, так как 1 не является простым числом. Отсюда получаем единственный возможный вариант, что p=3. Действительно, числа 3, 5, 7 — простые.

4. Найдите наименьшее натуральное число N такое, что у числа N ровно три простых делителя, у числа 11N - тоже три простых делителя, а у числа 6N - четыре простых делителя.
Решение задачи
Сперва заметим, что то, что у числа N и числа 11N поровну простых делителей означает, что число N делится на 11. А то, что у числа 6N четыре простых делителя означает, что число N делится в точности на одно из простых из чисел 2 и 3. Так как мы хотим, чтобы N было наименьшим, то пусть N делится на 2 и не делится на 3. Еще N делится на 11, значит два из трех его простых делителей - это 2 и 11. Третий делитель нам нужно выбрать поменьше, пусть это число 5. Так мы получаем ответ: N=2⋅5⋅11=110, так как очевидно, что число 2⋅5⋅11=110 - наименьшее подходящее.
.
 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню