Линейное уравнение с параметром - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Линейное уравнение с параметром

Теория > Алгебра
Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).
Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.
В качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.



Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

Тип 1)  в условии сказано: решить уравнение  – это значит, для всех значений параметра найти все решения. 
Записать ответ при таком типе задач  можно в следующем виде:
Ответ:
1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;
2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Тип 2) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений.

Например, чтобы сравнить два числа -66а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:
1) -66a будет больше 3a, если а отрицательное число;
2) -66а = 3а в случае, когда а = 0;
3) -66а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.
Решение и будет являться ответом.

Линейные уравнения с параметром


Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:
1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число из R, тогда x = b/k.
2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.
3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.
Легко видеть, что здесь a ≥ 0.
По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:
x = 6 ± a.
Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение  a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.
Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0
Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.
В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.
В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.
Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.


 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню