Квадратный корень - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Квадратный корень

Теория > Алгебра 8
Квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен a . Это число обозначают √a , число а называют подкоренным числом.  

 Если √a = b , то b2 = a , при а ≥ 0 и b ≥ 0 

Например:

√0 = 0 ; √1 = 1 ; √4 = 2 ; √9 = 3 ; √0,09 = 0,3 

02 = 0 ; 12 = 1 ; 22 = 4 ; 32 = 9 ; 0,32 = 0,09 

А почему же число a aa должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен√ −9? Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: 32 =9, а не -9. Может, (−3)? Опять же, проверяем: (−3)2 = 9 
. Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!


Обратите еще раз внимание  внимание,

(−5)2 = 25 , но √ 25 ≠ −5 , √ 25 = 5 .

Корень не может быть равен отрицательному числу.
√ −25 — нельзя вычислить.
Корень из отрицательного числа не существует.

  Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от 1 до 20, а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что 152 = 225, а также, наоборот, что √225 – это 15 
В этом поможет таблица квадратов
Проверит свои знания можно используя таблицу квадратных корней




Свойства квадратных корней
Существует три свойства арифметического корня:
- умножение
- деления
 - возведения в степень

1. Корень произведения равен произведению корней √ab = √a • √b, если a≥0 , b≥0

√ab = √a • √b 

2. Корень из дроби - это корень из числителя и корень из знаменателя дроби

√(a/b) = √a  /  √b 
если а ≥ 0 и b > 0 ;

3. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение

(√a)n(a)n  

 если а ≥ 0 и n — натуральное число ;


Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

√a • √b = √ab

√5 • √3 = √5*3 = √15
√2 • √6 = √2*6 = √12
12 - это 4*3, а значит √12 можно записать как √4*3
√2 • √6 = √2*6 = √12 = √4*3 = 2√3
√4 • √3 = 2*√3 = 2√3
√2 • √8 = √2*8 = √16 = 4
Как видите - это свойство очень полезное, если по отдельности корни не извлекаются.
Эта формула работает даже, если множителей не два, а три и более
√5 • √3 • √2 = √5*3*2 = √30

Деление корней

√(a/b) = √a / √b 

√12 / √3 =  √(12 / 3) = √4 = 2
 
√12 / 3 = √12 / √9 =  √(12 / 9) = √4/3 = 2 / √3

Возведение в степень

(√a)n = √(a)n  

(√12)2 = √122 = 12
(√5)6 = ((√5)2)3 = 53 = 125

Внесение под знака корня

Допустим у нас записано число 3√5. Мы можем спрятать 3 под корнем, помня, что 3 = √9 
3√5 = √9*5 = √45
Зачем это нужно - чтобы расширить знания и возможности при вычислении примеров
3√10  - √45 *√2  = √9*10 - √45*2 = √90 - √90 = 0


 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню