Квадратичная функция,ее свойства и график - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Квадратичная функция,ее свойства и график

Теория > Алгебра 8
Функция вида y = ax2 + bx + c, где a >0 называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.

Функция y = x2 - частный случай квадратичной функции y = ax2 + bx + c, 
когда a = 1,b = 0, c = 0.
Рассмотрим функцию y = x2 и построим график её функции.
Дадим независимой переменной x несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной y (по формуле y = x2
если x = 0, то y = 0;
если x = 1, то y = 12=1;
если x = 2, то y = 22=4;
если x = 3, то y = 32=9;
если x = −1, то y = (−1)2=1;
если x = −2, то y = (−2)2=4;
если x = −3, то y = (−3)2=9.

Построим найденные точки (0;0); (1;1); (2;4); (3;9); (−1;1); (−2;4);(−3;9) на координатной плоскости xOy.
Эти точки расположены на некоторой линии, начертим её. Эту линию называют параболой.

Графиком квадратичной функции y = x2 является квадратичная парабола.

Ось y является осью симметрии параболы y = x2 или что парабола симметрична относительно оси y.
Ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы.

У параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы - точка (0;0). Данная точка называется вершиной параболы.

Свойства функции y = x2
1) y = 0 при x = 0; y > 0 при x > 0 и при x < 0;
2) y наим = 0;y наиб не существует ;
3) функция убывает на луче (−∞;0], функция возрастает на луче [0;+∞).

Функция y = ax2 - частный случай квадратичной функции y = ax2 + bx + c, когда b = 0, c = 0.
Рассмотрим функцию y = ax2 и построим график её функции.

Графиком квадратичной функции y = ax2 является квадратичная парабола.

1. Вершина параболы находится в начале координат.
2. Ось y является осью симметрии параболы y = ax2 или что парабола симметрична относительно оси y.
Ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы.
Если старший коэффициент a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.
     y = - 0,5x2

Чем меньше значение старшего коэффициента  а, тем дальше расположены ветви параболы от оси Оу.
И наоборот, чем больше значение старшего коэффициента  а, тем ближе  расположены ветви параболы к оси Оу.
Можно встретить и другое определение - Чем больше модуль коэффициента |a|, тем ближе к оси Oy расположены ветви параболы.

Свойства функции y = ax2:
1.  Расположение графика - ветви параболы направлены вверх
2. Интервалы возрастания и убывания функции - Функция убывает, если x∈(−∞;0], возрастает, если x∈[0;+∞).
3. Наибольшее значение функции - нет 
4. Наименьшее значение функции - y = 0
5. Интервалы, в которых значение функции положительное - Функция положительная (y>0), если x∈(−∞;0)∪(0;+∞)
(график находится выше оси Ox).
6. Интервалы, в которых значение функции отрицательное -  нет
 
Свойства функции y =  - ax2:
1. Расположение графика - ветви параболы направлены вниз
2. Интервалы возрастания и убывания функции - Функция возрастает, если x∈(−∞;0] ,убывает, если x∈[0;+∞).
3. Наибольшее значение функции - y = 0
4. Наименьшее значение функции - нет
5. Интервалы, в которых значение функции положительное - нет
6. Интервалы, в которых значение функции отрицательное - Функция отрицательная (y<0), если x∈(−∞;0)∪(0;+∞)
(график находится ниже оси Ox).

Итак подведем итоги:
Функция вида y = ax2 + bx + c , где a, b, c реальные числа, a ≠ 0, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения функции D(f) - все действительные числа.

Область значений функции E(f) считывается с графика, она зависит от координаты y вершины параболы и направления ветвей параболы.
1 пример - E(f) = [−2;+∞)
2 пример - E(f) = (−∞;2]

Параметр a определяет направление ветвей параболы:
если a > 0, то ветви направлены вверх 
если a < 0, то ветви направлены вниз 

Параметр c указывает, в какой точке парабола пересекает ось Oy.

Чтобы построить график квадратичной функции необходимо:
1) вычислить координаты вершины параболы: 
x0 = −b/2a и y0, которую находят, подставив значение x0 в формулу функции,
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,
3) определить направление ветвей параболы,
4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy,
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси Oy равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью Oy, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0) = c.
То есть точка пересечения параболы с осью Oy имеет координаты (0;c).
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.
6) Находим дискриминант D, который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
Если D < 0 ,то уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола 
y = ax2 + bx + c не имеет точек пересечения с осью Ох
Если D = 0 ,то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола 
y = ax2 + bx + c имеет одну точку пересечения с осью Ох. Вершина параболы находится на оси Ox.
Если D > 0 ,то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола 
y = ax2 + bx + c имеет две точки пересечения с осью Ох или корни функции.

Рассмотрим на примере:
Построй график функции y = x2 − 2x − 1 
1) вычислить координаты вершины параболы:
x0 = −b/2a = -(-2) / 2 = 1 и y0, которую находят, подставив значение x0 в формулу функции,
y0  = 12 - 2*1 - 1 = - 2
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,
3) определить направление ветвей параболы - Ветви параболы направлены вверх, т.к. a = 1 > 0
4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy
Парабола пересекает ось Oy в точке (0;−1)
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.
x =  2  у = - 1
х = 3  у = 2
х = 4  y = 7
Симметрично строим левую сторону параболы.
 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню