Квадрат суммы и квадрат разницы - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Квадрат суммы и квадрат разницы

Квадрат суммы и квадрат разности являются формулами сокращенного умножения
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.
Записывается это так
(a + b)2=a2 + 2ab + b2

Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство

(a+b)2=a2+b2+2ab или (a+b)2=a2+2ab+b2.

Доказательство.
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+b2+2ab.

Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения,то опять получится тождество.
Это тождество называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух выражений
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним
112 = 100 + 12
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений
Записывается это так
(a - b)2=a2 - 2ab + b2
 Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство

(a−b)2=a2+b2-2ab или (a−b)2=a2-2ab+b2
Доказательство.
(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2-ab-ab+b2=a2+b2−2ab.
Это тождество называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат разности любых двух выражений

Известно, что ac + bd = 11, ad − bc = 10, где a, b, c, d — некоторые действительные числа. Найдите (a2+b2)(c2+d2)
Сначала 
ac + bd = 11 возведем в квадрат (ac + bd)2  = 112    
 a2c2 + 2acbd  + b2d2 = 121
 a2c2 + b2d2 = 121-  2acbd
 
  и ad − bc = 10 возведем в квадрат  (ad − bc) 2 = 102
a2d2 - 2adbc + b2c2 = 100
a2d2 + b2c2 = 100 + 2adbc
Преобразуем выражение, раскрыв скобки (a2+b2)(c2+d2) = a2c2a2d2b2c2b2d2  Теперь можно подставить значения сверху

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2100 + 2adbc + 121- 2acbd = 100 + 121 = 221 





 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню