Куб суммы и куб разности. Правила - СПИШИ У АНТОШКИ

Поиск
Перейти к контенту

Главное меню:

Куб суммы и куб разности. Правила

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,плюс куб второго выражения.
Записывается это тождество так:
                                         (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Данная формула верна и справа налево, то есть верно равенство
                                         a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a + b)3
Доказательство.
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) =   (a + b)(a + b)2 =  (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2+b3

Так как равенство  верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 30 и 2 ,
то опять получится тождество.
(30 + 2)3 = 303 + 3·302·2 + 3·30·22 + 23 = 27000 + 3·900·2 + 3·30·4 + 8 = 2700 + 2700·2 + 360 + 8 =
=   27000 + 5400 + 360 + 8  =  32768
(a + 3b)3 = a3 + 3a23b + 3a (3b)2 + (3b)3 = a3 + 9a2b + 27ab2 + 27b3

Запомните (a + b)3  не равно  a3 + b3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,минус куб второго выражения.
Записывается это тождество так:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -  b3

Доказательство.
(a - b)3 =(a − b)(a − b)(a − b) = (a − b)(a − b)2 =  (a − b)(a2−2ab+b2) = a3 − 2a2b + ab2 − a2b+2ab2 − b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Так как равенство  верно при любых значениях a и b,то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y и 2z ,то опять получится тождество.

(5y − 2z)3 = 125y3 − 150y2z  + 60y z2 − 8z3 

(11 - 7)3 = 113 - 3 • 113 • 7 + 3 • 11 • 72 - 73 = 64

Или Возвести в куб двучлен 2x-y.
(2x - y)3 = (2x)3 - 3(2x)2y +3(2x)y2 - y3 = 8х3 - 3*4x2y + 6xy2 - y3 = 8х3 - 12x2y + 6xy2 - y3 

  
 
 
Поиск
Назад к содержимому | Назад к главному меню